Variabel acak Binomial & Poisson dan propertinya
Variabel acak yang berhubungan dengan keberhasilan dan kegagalan hasil percobaan acak untuk n pengulangan dikenal sebagai variabel acak binomial, definisi dari fungsi massa probabilitas berkaitan dengan probabilitas keberhasilan p dan probabilitas kegagalan q saja, definisi dengan contoh sudah kita lihat, sekarang dengan pemahaman kita melihat beberapa sifat dari variabel acak diskrit tersebut,
Ekspektasi dan Varians dari variabel acak binomial
Ekspektasi dan Varians variabel acak binomial dengan n pengulangan dan p sebagai probabilitas keberhasilan
E [X] = np
dan Var (X) = np (1-p)
sekarang pertimbangkan untuk menunjukkan dua ekspektasi variabel acak dari kekuatan k dengan mengikuti definisi fungsi massa probabilitas untuk variabel acak binomial sebagai,
dimana Y adalah variabel acak binomial lain dengan n-1 trial dan p sebagai probabilitas keberhasilan, Jika kita ambil nilai k = 1 maka kita akan mendapatkan
E [X] = np
dan jika kita mengganti k = 2 kita akan mendapatkan
EX2] = npE [Y + 1]
= np [(n-1) p + 1]
jadi kita akan mudah mendapatkannya
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= np [(n-1) p + 1] - (np)2
= np (1-p)
Contoh: Untuk koin yang tidak bias lakukan percobaan melempar 100 kali dan untuk jumlah ekor yang muncul dalam hal ini carilah mean, varians dan deviasi standar dari percobaan tersebut.
Ekor untuk satu lemparan memiliki kemungkinan berhasil p = 1/2 = 0.5
jadi maksud dari eksperimen tersebut adalah
E [X] = np
karena percobaan ini binomial karena hanya berhasil atau gagal kita akan mendapatkan n jumlah pengulangan
sehingga μ = np
μ = 100x (0.5) = 50
Demikian pula varians dan deviasi standarnya
Var (X) = np (1-p)
σ2= np(1-p)
Nilainya akan menjadi
σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25
Contoh: Carilah mean dan deviasi standar untuk probabilitas 0.1 cacat pada perusahaan manufaktur baut dari lot 400 baut.
di sini n = 400, p = 0.1, mean = np = 400 × 0.1 = 40
sejak
σ2= np(1-p)
jadi deviasi standar akan menjadi
Contoh: Cari probabilitas tepat, kurang dari dan paling sedikit 2 sukses jika mean dan standar deviasi untuk variabel acak binomial masing-masing adalah 4 dan 2.
Karena mean = np = 4
dan varians = np(1-p) = 2,
jadi 4(1-p)=2
(1-p) = 1/2
p = 1- (1/2)
menempatkan nilai ini berarti kita mendapatkan
np = 4
n (1/2) = 4
n = 8
probabilitas tepat 2 keberhasilan akan
kemungkinan kurang dari 2 keberhasilan akan
p (X <2)
= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9/256
Kemungkinan setidaknya 2 keberhasilan
p (X> 2) = 1- p (X <2)
= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256
Variabel Acak Poisson
Variabel acak diskrit X yang mengambil nilai 0,1,2 …… .. dikenal sebagai Variabel acak Poisson yang diberikan untuk λ> 0 fungsi massa probabilitasnya harus
or
as
Ketika n sangat besar dan probabilitas keberhasilan p sangat kecil dalam hal ini variabel acak Poisson dengan fungsi massa probabilitasnya menjadi aproksimasi dari variabel acak binomial dengan masing-masing pmf karena ekspektasi dalam hal ini yaitu np akan moderat dan itu akan menjadi λ = np .
Contoh: Carilah probabilitas setidaknya ada satu kesalahan pengetikan pada setiap halaman buku yang berdistribusi Poisson dengan mean 1/2 untuk satu halaman.
Biarkan variabel acak diskrit X menunjukkan kesalahan pada halaman. jadi variabel acak Poisson memiliki fungsi massa probabilitas sebagai
= 1/2
Contoh: Temukan probabilitas bahwa sampel dari 10 item yang diproduksi oleh mesin dengan peluang 0.1 produksi yang rusak memiliki paling banyak satu item yang rusak.
Ini bisa kita selesaikan baik dengan fungsi massa probabilitas binomial maupun fungsi massa probabilitas Poisson, jadi kita menyelesaikannya dengan Poisson
Ekspektasi dan varians dari variabel acak Poisson
Ekspektasi dan Varians variabel acak Poisson dengan n pengulangan dan p sebagai probabilitas keberhasilan
E [X] = np = λ
serta
Var (X) = np = λ
Sebelum menunjukkan hasil, kita harus ingat bahwa variabel acak Poisson tidak lain adalah pendekatan dari variabel acak Binomial sehingga np= sekarang harapan dengan menggunakan fungsi massa probabilitas adalah
Artinya nilai ekspektasi matematis dari variabel acak Poisson sama dengan parameternya, demikian pula untuk menghitung varians dan deviasi standar variabel acak Poisson diperlukan ekspektasi kuadrat X sehingga,
Penjumlahan di atas jelas karena dua dari jumlah tersebut adalah ekspektasi dan jumlah probabilitas.
Dengan demikian nilai varians yang akan kita dapatkan adalah
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= λ
Jadi dalam kasus variabel acak Poisson, mean dan varians memiliki nilai yang sama yaitu np sebagai parameter.
The Variabel acak Poisson adalah perkiraan yang baik untuk menemukan proses yang beragam misalnya menemukan kejadian jumlah gempa bumi dalam beberapa durasi waktu tertentu, menemukan jumlah elektron selama waktu tetap dari katoda yang dipanaskan, menemukan kemungkinan jumlah kematian selama waktu tertentu, atau jumlah perang dalam tahun tertentu dll
Contoh : Hitung probabilitas jumlah penumpang dalam dua hari kurang dari 2. Jika jumlah kedatangan penumpang dengan mean 5 mengikuti variabel acak Poisson. mean = np = 5
Jika kita anggap jumlah penumpang dalam dua hari kurang dari 2 maka akan jadi
| Hari pertama | Hari kedua | Total |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
jadi peluangnya adalah kombinasi dari dua hari ini sebagai
=e-10[1+5+5]
= 11e-10
= 114.5410-5
= 4.994 * 10-4
Contoh: Hitung kemungkinan 4 atau lebih kondensor yang rusak dari satu pak berisi 100 kondensor asalkan cacat produksi untuk kondensor adalah 1%.
Di sini p = 1% = 0.01 dan n = 100 * 0.01 = 1
sehingga kita dapat menggunakan fungsi massa probabilitas variabel acak Poisson PMF
mean = np = 100 * 0.01 = 1
jadi kemungkinan untuk 4 atau lebih kondensor yang rusak adalah
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
Contoh: Jika 0.002 kemungkinan ada produk cacat dari manufaktur, untuk paket yang berisi 10 produk semacam itu, berapa probabilitas bahwa paket tersebut tidak memiliki cacat, satu cacat, dan dua produk cacat dari pengiriman 50000 paket produk yang sama.
Di sini untuk probabilitas cacat paket tunggal yaitu p=0.002, n=10
maka rata-rata np=0.002*10= 0.020
kami akan menemukan untuk setiap kasus sebagai
Jadi dari tabel tersebut jelas bahwa jumlah pisau yang rusak dalam paket nol, satu dan dua masing-masing adalah 4900,980,10.
Kesimpulan:
Pada artikel ini kita membahas beberapa properti dari salah satu Variabel acak binomial, Variabel acak Poisson dan Eksperimen Acak. Juga satu lagi variabel acak diskrit yaitu variabel acak Poisson, yang dibahas dengan sifat-sifat. Distribusi untuk probabilitas fungsi massa, ekspektasi, varians dan contoh deviasi standar juga diambil untuk pemahaman yang lebih baik, Dalam artikel berikutnya kami mencoba untuk mencakup beberapa variabel acak diskrit jika Anda ingin membaca lebih lanjut kemudian melanjutkan Halaman Matematika.
Garis Besar Probabilitas dan Statistik Schaum
