Polinomial Hermite: 9 Fakta Singkat Lengkap

  Polinomial Hermite banyak digunakan dalam aplikasi sebagai fungsi ortogonal. Polinomial hermit adalah solusi deret persamaan diferensial Hermite.

Persamaan Hermite

    Persamaan diferensial orde kedua dengan koefisien spesifik sebagai

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

dikenal sebagai persamaan Hermite, dengan menyelesaikan persamaan diferensial ini kita akan mendapatkan polinomial yang Polinomial Hermit.

Mari kita cari solusi dari persamaan

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

dengan bantuan solusi seri persamaan diferensial

sekarang mengganti semua nilai ini dalam persamaan Hermite yang kita miliki

Persamaan ini memenuhi nilai k=0 dan seperti yang kita asumsikan nilai k tidak akan negatif, sekarang untuk suku derajat terendah x^m-2 ambil k=0 dalam persamaan pertama karena persamaan kedua memberikan nilai negatif, sehingga koefisien x^m-2 is

a₀m (m-1)=0 m=0,m=1

sebagai₀ 0

sekarang dengan cara yang sama menyamakan koefisien x^m-1 dari penjumlahan kedua

dan menyamakan koefisien x^m+k ke nol,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

kita dapat menulisnya sebagai

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

jika m=0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

jika m=1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) a_k

untuk dua kasus ini sekarang kita bahas kasus untuk k

Ketika $m=0, a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

Jika, $k=0 a₂ =-2 n/2a₀=-na₀$

$k=1, a₃=2(1-n)/6 a₁ =-2(n-1)/3 ! sebuah₁$

Jika $k=2, a₄ =2(2-n)/12 a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4 ! sebuah₀$

sejauh m=0 kita memiliki dua kondisi ketika a₁=0, maka a₃=a₅=a₇=….=a_2r+1=0 dan ketika a₁ tidak nol maka

dengan mengikuti ini, masukkan nilai a₀,a₁,a₂,a₃,a₄ dan₅ kita memiliki

dan untuk m=1 a₁=0 dengan menempatkan k=0,1,2,3,….. kita peroleh

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

jadi solusinya

jadi solusi lengkapnya adalah

di mana A dan B adalah konstanta arbitrer

Polinomial Hermit

   Solusi persamaan Hermite adalah dalam bentuk y(x)=Ay₁(x)+Oleh₂(x) dimana y₁(x) dan y₂(x) adalah suku-suku deret seperti yang dibahas di atas,

salah satu dari seri ini berakhir jika n adalah bilangan bulat non-negatif jika n genap y₁ berakhir jika tidak y₂ jika n ganjil, dan kita dapat dengan mudah memverifikasi bahwa untuk n=0,1,2,3,4…….. polinomial ini adalah

1,x,1-2x², x-2/3x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

jadi kita dapat mengatakan di sini bahwa solusi persamaan Hermite adalah kelipatan konstan dari polinomial ini dan suku yang mengandung pangkat x tertinggi berbentuk 2ⁿxⁿ dilambangkan dengan H_n(x) dikenal sebagai Polinomial hermit

Fungsi pembangkitan polinomial Hermite

Polinomial hermit biasanya didefinisikan dengan bantuan relasi menggunakan fungsi pembangkit

[n/2] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan n/2 sehingga mengikuti nilai H_n(x) as

ini menunjukkan bahwa H_n(x) adalah polinomial derajat n di x dan

H_n(x) = 2ⁿxⁿ +_n-2 (x)

dimana π_n-2 (x) adalah polinomial berderajat n-2 di x, dan akan menjadi fungsi genap x untuk nilai n genap dan fungsi ganjil x untuk nilai n ganjil, jadi

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(x)

beberapa polinomial Hermite awal adalah

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Fungsi pembangkitan polinomial Hermite dengan Rumus Rodrigue

Polinomial Hermite juga dapat didefinisikan dengan bantuan rumus Rodrigue menggunakan fungsi pembangkit

karena hubungan fungsi pembangkit

  Dengan menggunakan teorema Maclaurin, kita dapatkan

or

dengan menempatkan z=xt dan

untuk t=0, jadi z=x memberikan

ini dapat kita tunjukkan dengan cara lain sebagai

membedakan

sehubungan dengan t memberikan

mengambil batas t cenderung nol

sekarang membedakan sehubungan dengan x

mengambil batas t cenderung nol

dari dua ekspresi ini kita dapat menulis

dengan cara yang sama kita dapat menulis

 mendiferensiasikan n kali menempatkan t = 0, kita mendapatkan

dari nilai-nilai ini kita dapat menulis

dari ini kita bisa mendapatkan nilai

Contoh Polinomial Hermit           

1. Tentukan polinomial biasa dari

Solusi: menggunakan definisi polinomial Hermite dan hubungan yang kita miliki

2. Temukan polinomial Hermite dari polinomial biasa

Solusi: Persamaan yang diberikan dapat kita ubah menjadi Hermite sebagai

dan dari persamaan ini menyamakan koefisien kekuatan yang sama

maka polinomial Hermite akan menjadi

Ortogonalitas Polinomial Hermit | Sifat ortogonal Polinomial Hermit

Karakteristik penting untuk polinomial Hermite adalah ortogonalitasnya yang menyatakan bahwa

Untuk membuktikan ortogonalitas ini mari kita ingat bahwa

yang merupakan fungsi pembangkit untuk polinomial Hermite dan kita tahu

jadi dengan mengalikan kedua persamaan ini kita akan mendapatkan

mengalikan dan mengintegrasikan dalam batas tak terbatas

dan sejak itu

so

menggunakan nilai ini dalam ekspresi di atas kita miliki

pemberian yang mana

sekarang samakan koefisien di kedua sisi

yang menunjukkan sifat ortogonal polinomial Hermite.

  Hasil dari sifat ortogonal polinomial Hermite dapat ditunjukkan dengan cara lain dengan mempertimbangkan hubungan perulangan

Contoh Ortogonalitas Polinomial Hermite

1. Evaluasi integralnya

Solusi: Dengan menggunakan sifat ortogonalitas polinomial hermit

karena nilainya di sini adalah m=3 dan n=2 jadi

2. Evaluasi integralnya

Solusi: Dengan menggunakan sifat ortogonalitas polinomial Hermite kita dapat menulis

Hubungan perulangan polinomial Hermite

Nilai polinomial Hermite dapat dengan mudah diketahui dengan hubungan perulangan

Hubungan ini dapat dengan mudah diperoleh dengan bantuan definisi dan properti.

Bukti:1. Kita tahu persamaan Hermite

y”-2xy'+2ny = 0

dan hubungannya

dengan mengambil diferensiasi terhadap x sebagian kita dapat menulisnya sebagai

dari kedua persamaan tersebut

sekarang ganti n dengan n-1

dengan menyamakan koefisien tⁿ

jadi hasil yang dibutuhkan adalah

2. Dengan cara yang sama, diferensiasikan sebagian terhadap t persamaan

kita mendapatkan

n=0 akan hilang jadi dengan memasukkan nilai e . ini

sekarang menyamakan koefisien tⁿ

demikian

3. Untuk membuktikan hasil ini kita akan menghilangkan H_n-1 dari

serta

jadi kita dapatkan

dengan demikian kita dapat menulis hasilnya

4. Untuk membuktikan hasil ini kita bedakan

kita mendapatkan hubungan

menggantikan nilai

dan mengganti n dengan n+1

pemberian yang mana

Contoh relasi perulangan polinomial Hermite

1.Tunjukkan bahwa

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Larutan:

Untuk menunjukkan hasil yang kita miliki

H2n(x) =

mengambil x = 0 di sini kita dapatkan

2. Tunjukkan bahwa

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Larutan:

Sejak dari relasi perulangan

H'_n(x) = 2nH_n-1(X)

di sini ganti n dengan 2n+1 jadi

H'_2n-1(x) = 2(2n+1) H_2n(x)

mengambil x = 0

3. Tentukan nilai

H_{2n + 1}(0)

Solusi

Karena kita tahu

gunakan x=0 di sini

H_2n-1(0) = 0

4. Tentukan nilai H'_2n(0).

Solusi :

kami memiliki hubungan perulangan

H'_n(x) = 2nH_n-1(x)

di sini ganti n dengan 2n

H'_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(x)

masukkan x=0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Tunjukkan hasil berikut

Solusi :

Menggunakan relasi perulangan

H'_n(x) = 2nH_n-1 (x)

so

serta

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_n-3(x)

membedakan ini m kali

pemberian yang mana

6. Tunjukkan bahwa

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(x)

Solusi :

kita bisa menulis

dari koefisien tⁿ kita memiliki

dan untuk -x

7. Evaluasi integral dan tunjukkan

Solusi : Untuk menyelesaikan integral ini gunakan bagian integral sebagai

Sekarang diferensiasi di bawah tanda Integral dibedakan dengan

menghormati x

menggunakan

H'_n(x) = 2_nH_n-1 (x)

serta

H'_m(x) = 2mH_m-1 (x)

kita memiliki

dan sejak itu

𝝳 _{n, m-1} =_{n+1, m}

jadi nilai integralnya adalah

Kesimpulan:

Polinomial khusus yang sering muncul dalam aplikasi adalah polinomial Hermite, jadi definisi dasar, fungsi pembangkit , hubungan perulangan dan contoh yang terkait dengan Polinomial Hermit dibahas secara singkat di sini , jika Anda memerlukan bacaan lebih lanjut, baca

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Untuk posting lebih lanjut tentang matematika, silakan ikuti kami halaman matematika