Variabel Acak Terdistribusi Bersama: 11 Fakta Penting

By

Konten

Variabel acak yang didistribusikan bersama

     Variabel acak yang didistribusikan bersama adalah variabel acak lebih dari satu dengan probabilitas yang didistribusikan bersama untuk variabel acak ini, dengan kata lain dalam percobaan di mana hasil yang berbeda dengan probabilitas umum mereka dikenal sebagai variabel acak terdistribusi bersama atau distribusi bersama, jenis situasi seperti itu terjadi. sering kali saat menangani masalah peluang.

Fungsi distribusi bersama | Fungsi distribusi probabilitas kumulatif gabungan | fungsi massa probabilitas sendi | fungsi kepadatan probabilitas gabungan

    Untuk variabel acak X dan Y fungsi distribusi atau fungsi distribusi kumulatif gabungan adalah

dimana sifat dari probabilitas gabungan bergantung pada sifat variabel acak X dan Y baik diskrit maupun kontinu, dan fungsi distribusi individual untuk X dan Y dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi distribusi kumulatif gabungan ini sebagai

demikian pula untuk Y sebagai

Fungsi distribusi individual dari X dan Y ini dikenal sebagai fungsi distribusi marjinal ketika distribusi gabungan sedang dipertimbangkan. Distribusi ini sangat membantu untuk mendapatkan probabilitas seperti

dan selain itu fungsi massa probabilitas gabungan untuk variabel acak X dan Y didefinisikan sebagai

massa probabilitas individu atau fungsi kepadatan untuk X dan Y dapat diperoleh dengan bantuan massa probabilitas gabungan atau fungsi kepadatan seperti dalam hal variabel acak diskrit as

dan dalam hal variabel acak kontinu fungsi kepadatan probabilitas gabungan akan menjadi

di mana C adalah bidang dua dimensi, dan fungsi distribusi gabungan untuk variabel acak kontinu adalah

fungsi kepadatan probabilitas dari fungsi distribusi ini dapat diperoleh dengan melakukan diferensiasi

dan probabilitas marjinal dari fungsi kepadatan probabilitas gabungan

as

serta

sehubungan dengan variabel acak X dan Y masing-masing

Contoh Distribusi Bersama

  1. Probabilitas gabungan variabel acak X dan Y mewakili jumlah buku matematika dan statistik dari satu set buku yang berisi 3 buku matematika, 4 buku statistika dan 5 buku fisika jika 3 buku diambil secara acak.
  • Temukan sendinya fungsi massa probabilitas untuk sampel keluarga yang tidak memiliki anak 15%, 20% 1 anak, 35% 2 anak, dan 30% 3 anak jika dalam keluarga kita pilih secara acak dari sampel ini untuk anak laki-laki atau perempuan?

Probabilitas gabungan akan kita temukan dengan menggunakan definisi sebagai

Variabel acak yang didistribusikan bersama
Variabel acak yang didistribusikan bersama: Contoh

dan hal ini dapat kita ilustrasikan dalam bentuk tabel sebagai berikut

Variabel acak yang didistribusikan bersama
Variabel acak yang didistribusikan bersama: Contoh distribusi bersama
  • Hitung probabilitasnya

jika untuk variabel acak X dan Y fungsi kepadatan probabilitas gabungan diberikan oleh

dengan bantuan definisi probabilitas gabungan untuk variabel acak kontinu

dan fungsi kepadatan sambungan yang diberikan, probabilitas pertama untuk rentang yang diberikan adalah

dengan cara yang sama kemungkinannya

dan akhirnya

  • Tentukan fungsi kepadatan gabungan untuk hasil bagi X / Y dari variabel acak X dan Y jika fungsi kepadatan probabilitas gabungannya adalah

Untuk mencari fungsi kerapatan probabilitas untuk fungsi X / Y kita terlebih dahulu mencari fungsi distribusi joint kemudian kita akan membedakan hasil yang diperoleh,

jadi dengan definisi fungsi distribusi gabungan dan fungsi kepadatan probabilitas yang diberikan yang kita miliki

jadi dengan membedakan fungsi distribusi ini terhadap a kita akan mendapatkan fungsi kerapatan sebagai

di mana a berada dalam nol hingga tak terbatas.

Variabel acak independen dan distribusi gabungan

     Dalam majalah distribusi bersama probabilitas untuk dua variabel acak X dan Y dikatakan independen jika

dimana A dan B adalah himpunan yang sebenarnya. Seperti yang sudah dalam hal kejadian kita tahu bahwa variabel acak independen adalah variabel acak yang kejadiannya independen.

Jadi untuk setiap nilai a dan b

dan distribusi gabungan atau fungsi distribusi kumulatif untuk variabel acak independen X dan Y adalah

jika kita mempertimbangkan variabel acak diskrit X dan Y kemudian

sejak

demikian pula untuk variabel acak kontinu

Contoh distribusi gabungan independen

  1. Jika pada hari tertentu di rumah sakit pasien yang masuk berdistribusi poisson dengan parameter λ dan probabilitas pasien pria sebagai p dan probabilitas pasien wanita sebesar (1-p) maka menunjukkan bahwa jumlah pasien pria dan pasien wanita yang masuk ke rumah sakit tersebut. variabel random poisson independen dengan parameter λp dan λ (1-p)?

pertimbangkan jumlah pasien pria dan wanita dengan variabel acak X dan Y kemudian

karena X + Y adalah jumlah pasien yang masuk ke rumah sakit yang terdistribusi poisson

karena probabilitas pasien pria adalah p dan pasien wanita adalah (1-p) maka dari total jumlah tetap ada pria atau wanita menunjukkan probabilitas binomial sebagai

menggunakan dua nilai ini kita akan mendapatkan probabilitas gabungan di atas sebagai

dengan demikian kemungkinan pasien pria dan wanita akan menjadi

serta

yang menunjukkan keduanya merupakan variabel acak poisson dengan parameter λp dan λ (1-p).

2. temukan probabilitas bahwa seseorang harus menunggu lebih dari sepuluh menit pada pertemuan untuk mendapatkan klien seolah-olah setiap klien dan orang itu tiba antara pukul 12 hingga 1 siang setelah distribusi seragam.

pertimbangkan variabel acak X dan Y untuk menunjukkan waktu untuk orang dan klien itu antara 12 hingga 1 sehingga probabilitas secara bersama-sama untuk X dan Y akan menjadi

menghitung

dimana X, Y dan Z adalah variabel acak seragam selama interval (0,1).

di sini kemungkinannya

untuk distribusi seragam fungsi kerapatan

untuk kisaran yang diberikan begitu

JUMLAH VARIABEL ACAK INDEPENDEN DENGAN DISTRIBUSI BERSAMA

  Jumlah variabel bebas X dan Y dengan kerapatan probabilitas berfungsi sebagai variabel acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatifnya adalah

dengan membedakan fungsi distribusi kumulatif ini untuk fungsi kepadatan probabilitas dari jumlah independen ini

dengan mengikuti kedua hasil ini kita akan melihat beberapa variabel acak kontinu dan jumlah mereka sebagai variabel independen

jumlah variabel acak seragam independen

   untuk variabel acak X dan Y terdistribusi merata pada interval (0,1) fungsi densitas probabilitas untuk kedua variabel bebas tersebut adalah

jadi untuk jumlah X + Y yang kita miliki

untuk nilai apa pun a terletak di antara nol dan satu

jika kita membatasi di antara satu dan dua itu akan

ini memberikan fungsi kerapatan bentuk segitiga

jika kita menggeneralisasi n variabel acak seragam independen 1 ke n maka fungsi distribusinya

dengan induksi matematika akan

jumlah variabel acak Gamma independen

    Jika kita memiliki dua variabel acak gamma independen dengan fungsi kepadatan biasanya

kemudian mengikuti kerapatan untuk jumlah variabel acak gamma independen

ini menunjukkan fungsi kerapatan untuk jumlah variabel acak gamma yang independen

jumlah variabel acak eksponensial independen

    Dengan cara yang sama seperti variabel acak gamma, jumlah variabel acak eksponensial independen, kita dapat memperoleh fungsi kerapatan dan fungsi distribusi hanya dengan menetapkan nilai variabel acak gamma secara spesifik.

Jumlah variabel acak normal independen | jumlah dari Distribusi Normal independen

                Jika kita mempunyai n jumlah peubah acak normal bebas Xi , i=1,2,3,4….n dengan cara masing-masing i dan varians 2i maka jumlah mereka juga merupakan variabel acak normal dengan mean sebagai i dan varians 2i

    Kami pertama kali menunjukkan jumlah independen terdistribusi normal untuk dua variabel acak normal X dengan parameter 0 dan σ2 dan Y dengan parameter 0 dan 1, mari kita cari fungsi kepadatan probabilitas untuk jumlah X + Y dengan

dalam fungsi kepadatan distribusi bersama

dengan bantuan definisi fungsi kerapatan dari distribusi normal

dengan demikian fungsi kepadatan akan menjadi

yang tidak lain adalah fungsi kerapatan a distribusi normal dengan mean 0 dan varians (1+σ2) mengikuti argumen yang sama, kita dapat mengatakan

dengan rata-rata dan varians yang biasa. Jika kita mengambil ekspansi dan mengamati jumlahnya terdistribusi normal dengan mean sebagai jumlah dari mean dan varians masing-masing sebagai jumlah varians masing-masing,

sehingga dengan cara yang sama jumlah ke-n akan menjadi variabel acak terdistribusi normal dengan mean sebagai Σμi  dan varians Σσ2i

Jumlah variabel acak Poisson independen

Jika kita memiliki dua variabel acak Poisson independen X dan Y dengan parameter λ1 dan λ2 kemudian jumlah X + Y mereka juga merupakan variabel acak Poisson atau terdistribusi Poisson

karena X dan Y terdistribusi Poisson dan kita dapat menulis jumlah mereka sebagai gabungan peristiwa terputus-putus

dengan menggunakan probabilitas variabel acak independen

sehingga didapatkan jumlah X + Y juga terdistribusi Poisson dengan mean λ1 + λ2

Jumlah variabel acak binomial independen

                Jika kita memiliki dua variabel acak binomial independen X dan Y dengan parameter (n, p) dan (m, p) maka jumlah X + Y juga merupakan variabel acak binomial atau terdistribusi Binomial dengan parameter (n + m, p)

mari gunakan probabilitas jumlah dengan definisi binomial sebagai

pemberian yang mana

Jadi jumlah X + Y juga terdistribusi secara binomial dengan parameter (n + m, p).

Kesimpulan:

Konsep variabel acak terdistribusi bersama yang memberikan distribusi secara komparatif untuk lebih dari satu variabel dalam situasi tersebut dibahas di samping konsep dasar variabel acak independen dengan bantuan distribusi gabungan dan jumlah variabel independen dengan beberapa contoh distribusi diberikan dengan parameter mereka, jika Anda memerlukan bacaan lebih lanjut melalui buku-buku yang disebutkan. Untuk lebih banyak posting tentang matematika, silakan klik disini.

https://en.wikipedia.org

Kursus pertama yang mungkin dilakukan oleh Sheldon Ross

Garis Besar Probabilitas dan Statistik Schaum

Pengantar probabilitas dan statistik oleh ROHATGI dan SALEH

Gulir ke Atas